neosee.ru

21.02.20
[1]
переходы:145

скачать файл
Сказанное касается отказов с неустановленной причиной

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ АВИАЦИОННОГО ОБОРУДОВАНИЯ АВІОНІКИ ВС

1. Цель работы

1.1. Ознакомиться с методикой проведения испытаний элементов авиационного оборудования (АО) на надежность, получить статистические данные испытаний.

1.2. Освоить методику обработки результатов испытаний на надежность - получить оценки количественных показателей безотказности элементов АО для заданных моделей отказов и при различных уровнях нагрузки.

1.3. Провести сравнительный анализ надежности элементов АО по результатам испытаний и определить пригодность АО к дальнейшей эксплуатации.

2. Теоретические сведения

2.1. Планы испытаний на надежность

Для находящегося в эксплуатации авиационного оборудования методы оценивания показателей надежности основаны на анализе информации, получаемой в результате испытаний на надежность (эксплуатационных наблюдений). Каждое испытание на надежность проводится по определенному плану. План испытаний на надежность устанавливает:

- число N объектов испытаний (под объектами понимаются находящиеся в эксплуатации приборы и элементы АО и пилотажно-навигационных комплексов ПНК);

- порядок проведения испытаний (с восстановлением работоспособности испытания - символ M, с заменой отказавшего объекта на заведомо работоспособный - символ R, без восстановления и замены отказавшего объекта - символ U);

- критерий прерывания испытаний.

При этом объектом испытаний являются однотипные изделия, не имеющие конструктивных и других различий, изготовленные по единой технологии и испытываемые в идентичных условиях.

Для вычисления оценок показателей надежности проводятся следующие работы:

- выбор плана испытаний на надежность;

- планирование испытаний;

- сбор необходимой информации в ходе испытаний;

- статистическая обработка информации.

Выбор планов испытаний зависит от типа объекта испытаний, целей испытаний, оцениваемых показателей надежности, условий испытаний и других технико-экономических факторов. В данной лабораторной работе план испытаний задается преподавателем.

Планирование испытаний на надежность предусматривает определение требуемого объема испытаний для вычисления оценок показателей надежности с заданной точностью (относительной ошибкой ε в оценке показателя надежности) и достоверностью (доверительной вероятностью q).

Под объемом испытаний понимают для планов:

[NUN] - число объектов испытаний N или число восстановлений работоспособного состояний (при испытаниях для оценки среднего времени восстановления);

[NUr], [NMr], [NRr] - число объектов испытаний N и число отказов (предельных состояний) r испытываемых объектов;

[NUT], [NMT], [NRT] - число объектов испытаний N и продолжительность испытаний Т.

Исходными данными для расчета объема испытаний служат:

- доверительная вероятность q оценки соответствующего показателя надежности; ее рекомендуется выбирать из ряда: 0,80; 0,90; 0,95; 0,99;

- предельная относительная ошибка ε оценки соответствующего показателя надежности; ее рекомендуется выбирать из ряда: 0,05; 0,10; 0,15; 0,20;

- коэффициент вариации v распределения случайной величины (наработки ресурса, срока службы, времени восстановления, срока восстановления, срока сохраняемости). Коэффициент вариации v распределения случайной величины характеризует относительный разброс (рассеяние) отказов от времени и определяется как отношение среднеквадратического отклонения случайной величины к ее более вероятному значению, т.е. к математическому ожиданию. Для наработки до отказа ;

- вид закона распределения случайной величины (наработки ресурса, срока службы, времени восстановления, срока сохраняемости).

Значения q, ε, v и вид закона распределения задаются преподавателем; при этом объем испытаний определяется по соответствующим таблицам - приложения.

2.2. О физической природе отказов

Основным понятием науки о надежности является ОТКАЗ - событие, заключающееся в нарушении работоспособности АО. Правильное понимание физической природы отказов, их причин и корректное математическое описание явлений, лежащих в основе природы отказов, является важнейшими условиями успешного решения всех практических задач надежности. Общепринятое деление отказов технических устройств на так называемые "внезапные" и "постоянные", приводящие к неоднозначному выбору вероятностных моделей отказов, в последнее время все более отклоняется. Несмотря на то, что такое деление отказов существует практически с начала развития теории надежности (середина пятидесятых годов), до сих пор даже на инженерном уровне нет такого определения, которое позволяло бы отличить их друг от друга. Обычно отказ считается "внезапным" если:

- не установлена причина отказа;

- отказ связан с грубым нарушением эксплуатационного режима;

- отказ связан с наличием грубого дефекта в каком-либо элементе АО.

Во всех случаях подразумевается, что отказ появился в результате мгновенного изменения наблюдаемых параметров, т.е. отрицается существование каких-либо физических деградационных процессов - истинных причин, предшествующих появлению отказа.

Упомянутое широко распространенное толкование природы "внезапных" отказов весьма условно. Оказывается, отказ часто представляется "внезапным" только лишь потому, что наблюдатели (исследователи надежности, инженеры-эксплуатационники) не в состоянии пока проконтролировать изменение всех определяющих параметров, способных вызвать отказ. С развитием контрольно-измерительной аппаратуры объем контролируемых параметров расширяется, и доля так называемых "внезапных" отказов уменьшается.

Приведем наглядный пример "превращения" "внезапного" отказа в нормальный, физически обоснованный отказ. Обрыв термопар в системе контроля температуры авиадвигателей считался типичным "внезапным" отказом, пока не была выявлена связь прочности термопар с их электрическим сопротивлением. В процессе эксплуатации сопротивление термопары случайным образом растет из-за воздействия на металл выхлопных газов, вибраций, температурных перепадов и т.д. Прочность термопары, измеряемая в килограммах на квадратный миллиметр, при увеличении электрического сопротивления уменьшается по линейному закону, и при достижении электрическим сопротивлением некоторого критического значения становиться равной предельно-допустимому значению - происходит обрыв, поскольку при работе двигателя всегда имеют место механические вибрационные нагрузки.

Сравнительно большая доля "внезапных" отказов приписывается изделиям электронной техники, в частности микросхемам, поскольку в этих элементах АО очень трудно иногда обнаружить истинную причину отказа какого-либо из множества компонентов.

Сказанное касается отказов с неустановленной причиной. Другая же часть отказов, традиционно относимая к "внезапным" и обусловленная грубыми ошибками в принципиальной схеме или конструкции, в технологических режимах обработки, применением некондиционных материалов, а также ошибками монтажа, несоблюдением правил и условий эксплуатации, действительно может являться следствием действия перечисленных факторов, которые приводят к повышенным скоростям деградационных (механо- физико- химических) процессов. По вполне понятным причинам никто из исследователей, сторонников "внезапных" отказов не устанавливал границ этих многочисленных факторов. Таким образом, вопрос: "Имел ли место процесс деградации или отказ появился мгновенно (без протекания процесса)?" - не имеет реального смысла. Продолжительность разрушения, составляющая малые доли секунды - это тоже конечное и вполне измеримое время, и в этом случае, несомненно, имеет место процесс, который обладает соответствующими закономерностями. Реализации изменения определяющего параметра, имеющие резкое увеличение скорости (скачек), в вероятностном смысле, т.е. с точки зрения изменения времени достижения определяющим параметром критического уровня, являются непрерывными. Другими словами, подобные реализации являются частным случаем изменение определяющего параметра, рассматриваемого как случайный процесс.

Время появления любого отказа случайно. Некоторые авторы ошибочно считают, что "постепенные" отказы не настолько случайны, как "внезапные". В этой связи заметим, что коэффициент вариации распределения "постепенных" (параметрических) отказов при механическом износе равен 0,3…0,6, а при усталостном разрушении 0,4…0,8. Коэффициент вариации ресурса изделий электронной техники (ИЭТ) общепринято считать равным единице, хотя реальной статистики отказов элементов, подтверждающих это значение, нет. Статистика отказов крупноблочной аппаратуры имеет коэффициент порядка 0,5…1,2.

Таким образом, физическая природа "внезапных" и "постепенных" отказов одна и та же - это результат необходимых деградационных процессов, протекающих в любом отказе во время эксплуатации, хранения или испытания. Только в первом случае процесс деградации в результате случайного стечения обстоятельств или протекает очень быстро, или плавно изменяется неконтролируемый определяющий параметр, и потому сам факт появления отказа представляется неожиданным ("внезапным") для исследователя. Во втором же случае определяющий параметр, вызывающий отказ, постоянно контролируется, и его приближение к предельному значению не является неожиданным, т.е. "внезапным".

Из сказанного следует, что более общим и строгим является подход к построению математических моделей отказов с позиции их общей физической природы, т.е. установление закономерностей появления отказов должно протекать на основании анализа статистических закономерностей протекания физических процессов, приводящих к отказу.

Каждый объект обычно имеет множество параметров, которые, в общем-то, могут быть и не всегда определены полностью, и каждый из этих параметров способен привести к отказу. В общем случае определяющий параметр любого объекта можно представить в виде вектора, имеющего несколько независимых составляющих. Обычно существует несколько превалирующих определяющих параметров, за которыми по возможности организуется наблюдение.

Определяющими параметрами являются такие физические параметры (механический износ, пластические и упругие деформации, микротрещины, скопление дислокации и других дефектов, проводимость контактирующих и сплошных проводников тока и Р-П-переходов, теплоэлектрический прибой, плавление, образование поверхностных пленок, коррозия и т.д.), превышение которыми предельных значений приводит к отказу того или иного компонента АО. Таким образом, определяющие параметры, как правило, не наблюдаются, поскольку большая часть их практически не поддается контролю современной контрольно-измерительной аппаратурой в процессе эксплуатации АО.

2.3. Методы получения математических моделей отказов

Методология установления количественных показателей надежности на основании изучения механо-физико-химических свойств и некоторых физических параметров, характеризующих техническое состояние АО и ПНК, состоит в выявлении кинетических закономерностей деградационных процессов (построение математических моделей процессов деградации) и определении аналитической связи этих закономерностей с показателями надежности.

В настоящее время можно выделить два подхода к решению задач надежности на основании изучения кинетики и динамики развития отказов.

Наиболее распространенным является так называемый метод "физики отказов" (физический). Он заключается в установлении аналитической зависимости между показателями надежности и скоростью протекания физико-химических процессов на основании детерминистических кинетических уравнений. В качестве кинетических уравнений обычно используются линейное, степенное Аррениуса, уравнение диффузии и др. При этом полагают, что полученные детерминированные зависимости описывают усредненные явления и включают усредненные величины. Это позволяет перейти в дальнейшем к установлению зависимости некоторых показателей безотказности (средней наработки до отказа или интенсивности отказов) как функций физических свойств или физических параметров изделий и условий эксплуатации.

Этот детерминистический подход физической теории надежности имеет два направления:

- феноменологический, использующий закономерности протекания физико-химических процессов;

- регрессионный, устанавливающий связь механо-физических параметров и условий нагружения.

Развитие физической (причинной) теории надежности, т.е. раскрытие механизмов отказов и их влияния на надежность изделий имеет, несомненно, важное значение. Она позволяет эффективно совершенствовать технологию производства, повышать надежность техники. Однако чисто физический (детерминистический) подход не позволяет непосредственно определять абсолютные значения вероятностных показателей надежности, в частности закон распределения времени до отказа, т.е. закономерности распределения отказов непосредственно не связаны с физическими характеристиками изделия.

Следует заметить, что получаемые при таком подходе модели имеют частный характер: либо они моделируют какой-то превалирующий процесс деградации компонента, либо коэффициенты в уравнении (модели) получены для конкретного режима. Распространение результатов полученной таким образом модели даже на аналогичном объекте, но в измененных условиях, может иметь только качественный характер.

Более эффективным и общим является подход, основанный на использовании в качестве моделей случайных процессов и стохастических кинетических уравнений и приводящий к законам распределения отказов. Этот подход к исследованию надежности получил название вероятностно-физического, поскольку он непосредственно устанавливает связь вероятности достижения предельного уровня физическим определяющим параметром, т.е. связывает значения вероятности отказа и физического параметра, вызывающего отказ. Вследствие этого параметры получаемого вероятностного распределения имеют определенный физический смысл. Распределение отказов (распределение времени до отказа), параметры которого имеют конкретную физическую интерпретацию, в отличие от строго вероятностных распределений (моделей) отказов (Вейбула, логарифмически-нормального, экспоненциального и др.) называют вероятностно-физическим распределением (вероятностно-физической моделью) отказов. В настоящее время с помощью вероятностно-физического подхода получены два диффузионных распределения отказов:

- диффузионное немонотонное распределение (DN-распределение), являющееся математической моделью отказов изделий электронной техники;

- диффузионное монотонное распределение (DM-распределение), являющееся математической моделью объектов АО, содержащих электронно-механические и механические элементы (контакты реле и разъемов, скользящие электрические контакты, подшипники, зубчатые передачи и др.).

2.4. Показателя безотказности авиационного оборудования

Элементы АО и ПНК во время полета ВС рассматриваются как невосстанавливаемые объекты, работающие до первого отказа. В теории надежности невосстанавливаемых объектов основной случайной величиной является наработка до отказа. Под наработкой имеют в виду продолжительность или объем работы объекта. Приведем наиболее распространенные показатели безотказности невосстанавливаемых объектов.

Вероятность безотказной работы P(t) - вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникает. Так как для ПНК, их составных частей и элементов АО наработку принято измерять в единицах времени, обозначим длительность наработки через Т, а текущее время через t. Тогда:

.

(2.4.1)

Статистическое определение P(t):

,

(2.4.2)

где N - число объектов, поставленных на испытание,

n(t) - число отказавших объектов за время t.

Распределение случайной величины Т можно задать, например, с помощью функции распределения (вероятности возникновения отказа)

.

(2.4.3)

Статистическое определение F(t):

.

(2.4.4)

Обычно под Т понимается непрерывная случайная величина, наиболее распространенным представлением закона распределения непрерывной случайной величины является плотность распределения:

,

(2.4.5)

Статистическое определение f(t):

,

(2.4.6)

где n(Δ) - число объектов, отказавших в интервале времени;

(t, t+Δt); Δt - интервал времени, в котором определяется значение f(t).

Интенсивность отказов λ(t) - условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник. Функция λ(t) имеет связь с упомянутыми показателями:

.

(2.4.7)

Статистическое определение λ(t):

,

(2.4.8)

где N(t) - число объектов, работоспособных к моменту времени t.

Положение рассматриваемого момента времени t и интервала Δt на оси времени иллюстрируется рис.1.

Как следует из рис. 2.4.1, число объектов, отказавших в интервале времени Δt, определяется по зависимости

.

(2.4.9)

При построении графических зависимостей f(t) и λ(t) по результатам испытаний на безотказность, рассчитанные по формулам 2.4.6 и 2.4.8 значения оценок следует относить к середине интервала Δt.

Важным и широко распространенным показателем безотказности невосстанавливаемых объектов является математическое ожидание наработки до первого отказа - средняя наработка отказа до отказа

.

(2.4.10)

Статистическое определение Т1:

,

(2.4.11)

где ti - время безотказной работы i-го объекта.

Довольно часто необходимо с большой вероятностью гарантировать то, что объект не откажет в течение некоторого минимального промежутка времени. В этом случае используется гамма-процентная наработка до отказа Тγ - наработка, в течение которой отказ объекта не возникает с вероятностью γ, выраженной в процентах. Величина Тγ является корнем уравнения

.

(2.4.12)

Следует заметить, что информация о безотказности, содержащаяся в точечных показателях (Т1, Тγ), существенно менее значительна, чем информация о любой из функций (P, F, f, λ). Все четыре указанных функции являются функциями времени, каждая из которых однозначно характеризует распределение случайной величины Т. Значение одной из них позволяет вычислить все остальные, поэтому они являются равнозначными функциями задания закона распределения. Однако некоторые особенности этих функций делают каждую из них более или менее удобной для решения тех или иных задач надежности. Рассмотрим рис. 2.4.2, где приведены основные функции распространенных распределений.

Функции p(t) и F(t), представляющие собой интегральные характеристики, для любых законов монотонны, что скрывает особенности различных типов законов распределения.

Более выразительна функция f(t), которая характеризует различные свойства распределения:

- расположение области различных значений на оси времени;

- наличие и расположение наиболее вероятных значений;

- степень рассеяния и симметричности и др.

Именно благодаря этим качествам функция f(t) чаще всего используется при графическом представлении того или иного закона распределения.

Функция λ(t) представляет собой обобщенную характеристику распределения, несущую информацию сразу о двух функциях f(t) и F(t). Поэтому λ(t) является еще более выразительной, чем f(t). Известно, что закономерности функции λ(t) существенно отличаются у ряда законов, хотя последние имеют сравнительно похожие функции F(t) и f(t). Так, для распространенных распределений наработок (распределения Вейбулла, логарифмически-нормального распределения, гамма-распределения, диффузионных распределений) кривые плотностей распределения являются асимметричными, внешне очень похожими, а поведение интенсивностей на "концах" самих функций распределения, т.е. в асимпотике при , радикально различаются.

Графики плотностей упомянутых выше распределений не имеют заметной разницы, а асимпотическое поведение интенсивностей отказов при этих законах распределения следующее:

- интенсивность отказов гамм-распределения, нормального и распределения Вейбулла (принято более распространенное значение параметров формы этих распределений) в асимпотике (при ) стремится к бесконечности;

- интенсивность отказов логарифмически-нормального распределения в асимпотике стремиться к нулю;

- интенсивность отказов диффузионных распределений в асимпотике стремится к некоторой константе, имеющей выражение через параметры этих распределений:

.

(2.4.13)

Несомненно, что обобщенная функция λ(t) является одним из важнейших критериев при выборе теоретической модели распределения наработки до отказа.

Показатели безотказности оцениваются двумя методами:

- непараметрическим - при неизвестном законе распределения наработки; метод включает непосредственную оценку показателей безотказности по зависимостям 2.4.2, 2.4.4, 2.4.6, 2.4.8, 2.4.11;

- параметрическим (т.е. через параметры моделей отказов) - при известном законе распределения наработки; метод включает оценку параметров закона распределения (табл. 8.3 приложения), входящих в расчетную формулу оцениваемого показателя безотказности, и оценку показателя безотказности (табл. 8.4 приложения) по вычисленным оценкам параметров закона распределения. Значение функций е, ех, Г(х) и Ф٭(х) приведены в таблицах 8.5.1…8.5.4.

3. Описание лабораторной установки и работа на ней

В лабораторной установке исследуемыми на безопасность объектами, имитирующими приборы АО, являются автоматы защиты сети типа АЗС-2, которые смонтированы на передней наклонной панели в четыре группы по 10 штук. Время срабатывания АЗС зависит от величины тока, протекающего через би-металлическую пластину, от постоянной времени нагрева би-металла и от температурных условий испытаний.

Если испытания АЗС любой группы проводить в равных условиях, т.е. при одинаковом токе через АЗС и одинаковой температуре окружающей среды, то вследствие разброса характеристик отдельных АЗС интервалы времени от момента включения тока до момента срабатывания будут различными и случайными. Эти интервалы времени измеряются десятками и сотнями секунд и имитируют наработки приборов АО до отказа.

Все АЗС в каждой группе включены параллельно. В цепи каждого АЗС последовательно включен нагрузочный резистор RH, сопротивление которого обеспечивает ток нагрузки от 0 до 4,5 А при напряжении сети ~220 В. Задаваемый лабораторным автотрансформатором различный ток нагрузки можно интерпретировать как различные условия работы приборов АО. С нормальными условиями работы приборов соотносится ток IH=0,4 А. Максимальному току IH max=4,5 А соответствуют тяжелые, жесткие условия работы приборов, когда их ресурс расходуется быстрее. Ток IH=3,5А соответствует облегченному режиму работы приборов АО, которому соответствуют более высокие показатели безотказности. В ходе испытаний при срабатывании АЗС несколько меняется общий ток нагрузки, его следует поддерживать неизменным по амперметру установки.

Моменты срабатывания каждого АЗС в группе определяются по изменению положения его штока (вниз), при этом слышен характерный щелчок; возможно одновременное срабатывание нескольких АЗС.

Задание величины тока через АЗС (нагрузки на приборы АО) осуществляется при выключенных АЗС и включенном тумблере В, после чего тумблер В выключается. Затем включается необходимое для испытание количество АЗС в группе (или вся группа).

Тумблер В повторно включается одновременно с пуском секундомера (начало испытаний). Испытания всех АЗС проводятся в 4 приема по числу независимых групп АЗС, что облегчает условия наблюдения при визуальном отсчете времени срабатывания АЗС; кроме того, имеется ограничение по току в соответствии с ТУ на лабораторную установку.

В результате испытаний вы получаете упорядоченный неубывающий ряд наработок приборов АО , который в дальнейшем обрабатывает методами статистики в соответствии с полученным индивидуальным заданием.

4. Задание к лабораторной работе

4.1. Повторить по конспекту лекций главы 1, 2 и 3.

4.2. Изучить теоретическое введение к лабораторной работе. Ознакомиться с приложением к данному руководству.

4.3. Получить у преподавателя индивидуальное задание по исследованию надежности элементов АО.

4.4. Провести испытания приборов АО на безотказность и обработку результатов в соответствии с индивидуальным заданием.

4.5. Представить отчет по лабораторной работе в соответствии с предъявленными требованиями к его содержанию и оформлению.

5. Содержание отчета

В отчете по лабораторной работе должны быть представлены:

5.1. Индивидуальное задание по исследованию надежности элементов АО.

5.2. Результаты планирования испытаний (полученное задание объема испытаний N, r, T).

5.3. Результаты испытаний в виде упорядоченного ряда наработок .

5.4. Расчетные таблицы для построения гистограмм и графиков, для оценок параметров и показателей безотказности в соответствии с индивидуальным заданием. Приведем пример некоторых расчетных таблиц.

5.4.1. Расчетная таблица для построения гистограммы f(t) и графиков λ(t) и Р(t).

N=38, I=4.5 A







Интервал Δt на оси времени, сек.

0…20

20…40

40…60

60…80

80…100

100…120

120…140

Количество отказов в интервале, n(Δt)








Количество работоспособных приборов N(t)





























5.4.2. Расчет оценок плотности распределения наработки до отказа для DN-распределения.

Полученные ранее оценки параметров DN-распределения а=0,015 сек-1; υ=0,4141.

Расчет проводится по формуле:

.

Обозначим константы ; .

Расчетная таблица имеет следующий вид:

t

Ax[3]

a×t

1-[5]

[6]2

B · t

[7]

[8]

e-[9]

F(t)=

[10]

[4]

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0











20











30











40











50











60











80











100











125











150











5.5. Гистограммы и графики, показывающие изменения оценок показателей безотказности во времени в соответствии с индивидуальным заданием; в качестве примера приведем некоторые из них.

5.5.1. Гистограмма плотности распределения наработки до отказа (рис. 5.5.1), полученная непараметрическим методом.

5.5.2. График интенсивностей отказов, полученный непараметрическим методом (рис. 5.5.2).

5.5.3. График изменения средней наработки до отказа при увеличении нагрузки (тока I), нормальный закон распределения отказов (рис. 5.5.3).

5.6. Краткое резюме по полученным в лабораторном исследовании результатам.

6. Контрольные вопросы

6.1. Дайте определение надежности.

6.2. Установите соответствие (назовите ответы в виде сочетания букв и цифр):

А. Безотказность

1. Коэффициент готовности

Б. Долговечность

2. Параметр потока отказов

В. Ремонтопригодность

3. Гамма-процентный срок сохраняемости

6.3. Дайте понятие деградационного отказа.

6.4. Назовите составляющие надежности.

6.5. Назовите методы оценивания показателей надежности по результатам испытаний, раскройте их содержание.

6.6. Какие данные необходимо иметь для оценки параметров усеченного нормального распределения по результатам испытаний на надежность?

6.7. Назовите показатели безотказности и дайте их определения.

6.8. Раскройте содержание планирования испытаний на надежность.

6.9. Раскройте содержание плана испытаний на надежность.

6.10. Запишите условия нормировки для плотности распределения наработки до отказа.

6.11. Запишите аналитическую зависимость, существующую между показателями безотказности Т1 и Р(t). Как она получена?

6.12. Установите соответствие (назовите ответы в виде сочетания букв и цифр):

А. Безотказность

1. Среднее время восстановления

Б. Сохраняемость

2. Параметр распределения

В. Комплексный показатель

3. Средний ресурс


4. Вероятность восстановления за заданное время

6.13. Раскройте физический смысл параметров нормального и диффузионных распределений.

6.14. Какие данные необходимо иметь для оценки параметров диффузионного монотонного распределения?

6.15. При каких значениях коэффициента вариации распределения наработки до отказа (в нормальной модели надежности) разность между и Т1 является существенной, и ее необходимо учитывать при расчете средней наработки до отказа?

6.16. Докажите справедливость соотношения:

.

6.17. Изобразите график интеграла вероятности (или интеграла Лапласа), соответствующий его математическому представлению:

.

6.18. Изобразите график интеграла Лапласа (или интеграла вероятности), соответствующий аналитической формуле:

.

6.19. Какие данные необходимо иметь для оценки параметров диффузионных распределений по результатам испытаний на надежность?

6.20. Опишите физический смысл параметра а в DN-распределении наработки до отказа.

6.21. Докажите справедливость соотношения

.

6.22. Раскройте (опишите) физический смысл параметров b и υ в DN-распределении.

6.23. Докажите, что в экспоненциальной модели отказов справедлива обратно пропорциональная зависимость между Т1 и λ.

6.24. Укажите свойства интеграла Лапласа, используемого при расчете показателей безотказности

.

6.25. Запишите условие отказа, вызванного деградацией какого-либо определяющего параметра.

6.26. Покажите на схеме (рисунке), как получить плотность распределения наработки до отказа, если имеется возможность наблюдать во времени изменение значений определяющий параметров.

6.27. Объясните физический смысл монотонного и немонотонного поведения определяющих параметров. В каких элементах АО (электронных, электрических, гидравлических, механических и др.) имеют место эти процессы?

6.28. Установите соответствие (назовите ответы в виде соотношения букв и цифр):

А. Безотказность

1. Интенсивность отказов

Б. Ремонтопригодность

2. Средний ресурс

В. Сохраняемость

3. Интенсивность восстановления

Г. Долговечность

4. Средний срок службы

6.29. Перечислите показатели долговечности, определите их и укажите обозначения, рекомендуемые стандартом.

6.30. Укажите асимптотические значения интенсивностей отказов в диффузионных моделях надежности.

7. Литература

1. В.М. Грибов, В.В. Козарук - Основы теории надежности авиационной техники. Конспект лекций.: Киев 1994, 268 с.

2. Державній стандарт України 2860-94. Надійність техніки. Терміни та визначення.: Київ, Держстандарт України, 1994, 92 с.

3. Методы оценки показателей надежности по экспериментальным данным. РД50-690-89. ГосКомСтандарт.: М., 1990, 132 с.

8. Приложения

8.1. Порядок расчета объема испытаний.

8.1.1. Определение объема испытаний для плана [NAN]

Объем испытаний для оценки средней наработки до отказа, среднего ресурса (срок службы, времени восстановления) определяют по таблицам 8.2.1 - 8.2.4. Исходные данные для расчета:

- предельная относительная ошибка ε;

- доверительная вероятность q;

- вид закона распределения случайной величины (наработки до отказа, ресурса и т.д.);

- коэффициент вариации v.

Если по результатам испытаний получен коэффициент вариации больше заданного, то объем испытаний пересчитывают для полученного коэффициента вариации и испытания продолжают.

8.1.2. Определение объема испытаний для плана [NUr]

Число отказов r для оценки средней наработки до отказа, среднего ресурса (срока службы, срока сохраняемости) определяют по таблицам 8.2.1 - 8.2.4 полагая вместо N значение r.

Исходные данные для расчета - по п. 8.1.1.

Объем выборки N определяют в предположении, что заданна относительная продолжительность испытаний :

,

где {} - целая часть ;

для распределения Вейбула (b<1):

;

для логарифмически нормального распределения:

;

для диффузионного монотонного распределения:

;

для диффузионного немонотонного распределения:

.

Объем выборки N для оценки гамма-процентной наработки и вероятности безотказной работы при неизвестном законе распределения определяют по таблице 8.2.5. Исходными данными для расчета являются:

- доверительная вероятность q;

- предполагаемое значение P(t).

Число отказов r для оценки гамма-процентных показателей надежности или вероятности безотказной работы P(t) определяют по таблице 8.2.5 в предположении. что число испытываемых объектов N заданно.

8.1.3. Определение объема испытаний для плана [NAТ]

Объем выборки N или относительную продолжительность испытаний для оценки средней наработки до отказа определяют в следующей последовательности:

- для исходных данных по п. 8.1.1 определяют прогнозируемое число отказов r по таблицам 8.2.1 - 8.2.4, полагая вместо N значения r;

- для найденного значения r определяют объем выборки по формулам п. 8.1.2, полагая, что относительная продолжительность испытаний задана;

- объем выборки N для оценки гамма-процентной наработки до отказа и вероятности безотказной работы при неизвестном виде закона распределения определяют по таблице 8.2.5, предполагая известным значение r для заданных q и P(t).

Если по результатам испытаний N объектов за время Т получено число отказов меньше прогнозируемого, то испытания следует продолжить до наступления r отказов или снизить требования к точности и (или) достоверности оценки показателя.

8.2. Таблицы для определения числа объектов испытаний.

Таблица 8.2.1.

Значения N при плане [NAN]

и нормальном распределении

ε

q

N при V

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,05

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

4

8

13

18

25

8

16

26

37

52

12

28

45

65

90

19

40

65

100

140

26

65

100

150

200

0,10

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

2

3

5

6

8

3

5

8

11

15

4

8

13

18

25

6

12

19

26

37

8

16

26

38

52

0,15

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

1

3

4

5

6

2

3

5

6

8

3

5

7

10

13

4

6

10

13

18

4

8

13

18

25

0,20

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

1

3

3

4

5

1

3

4

5

7

2

4

5

6

8

3

4

7

9

12

3

6

8

11

16


Таблица 8.2.2.

Объем испытаний (значения N) при плане [NAN]

и распределении Вейбулла

ε

q

N при V

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,05

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

48

105

170

235

315

65

200

250

375

500

100

250

400

500

800

150

400

500

1000

1000

200

500

650

>1000

>1000

250

500

800

315

650

1000

0,10

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

13

32

50

65

100

25

50

80

100

150

32

65

100

160

200

50

100

150

215

315

50

125

200

295

400

65

150

250

375

500

100

200

400

450

650

0,15

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

6

15

25

32

40

10

25

40

50

65

15

32

50

80

100

20

40

80

110

150

25

65

100

140

200

32

80

125

175

250

40

80

150

210

315

0,20

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

5

10

15

20

25

8

15

25

32

40

10

20

32

47

65

15

32

40

64

80

20

40

50

80

125

20

40

80

110

150

25

50

110

125

150


Таблица 8.2.3.

Объем испытаний (значения N) при плане [NAN]

и диффузионном распределении.

ε

q

N при V

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

1,0

1,5

0,05

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

26

59

99

138

195

45

105

175

246

347

71

164

274

384

542

102

237

395

554

780

139

322

537

753

>1000

181

421

702

984

286

658

>1000

>1000

638

>1000

0,10

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

6

15

25

35

49

11

26

44

62

87

18

41

69

96

136

26

59

99

139

195

35

81

135

189

266

45

105

176

246

347

71

165

275

385

543

160

371

618

867

1000

0,15

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

3

7

11

15

22

5

12

20

27

39

8

18

31

43

60

11

26

44

62

87

16

36

60

84

119

20

47

78

110

155

32

73

122

172

242

71

165

275

386

544

0,20

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

2

4

6

9

12

3

7

11

16

20

4

10

17

24

31

6

15

25

35

45

9

20

34

48

65

11

27

44

62

86

18

41

69

97

135

40

93

156

218

320


Таблица 8.2.4.

Объем испытаний (значения N) при плане [NAN]

и логарифмически нормальном распределении.

ε

q

N при V

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,05

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

40

100

150

245

315

65

150

250

381

500

100

250

400

546

800

125

315

500

735

>1000

150

400

650

949

200

500

800

>1000

250

650

1000

0,10

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

10

25

40

62

80

20

40

65

96

125

25

65

100

137

200

32

80

125

184

250

40

100

150

238

315

50

125

200

296

400

65

150

250

359

500

0,15

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

5

13

20

28

40

8

20

32

43

50

10

25

40

61

80

15

40

50

82

125

20

50

80

106

150

25

50

100

132

200

32

65

100

160

200

0,20

0,80

0,90

0,95

0,975

0,99

3

6

10

16

20

4

10

15

24

32

6

15

25

35

50

8

20

32

46

65

10

25

40

60

80

15

32

50

74

100

20

40

65

90

125


Таблица 8.2.5.

Число объектов испытания N для плана [NAr]

при оценке гамма-процентных показателей надежности

ε

q

N при r

0

1

2

3

4

5

6

8

10

15

20

25

32

40

50

0,50

0,80

0,90

0,95

0,99

-

-

-

6

-

-

-

10

-

6

8

10

8

8

10

13

10

10

13

15

13

13

15

20

13

15

20

20

20

20

25

25

25

25

32

32

32

32

40

50

40

40

50

65

50

50

65

65

65

65

80

80

80

80

100

100

100

100

125

125

0,80

0,80

0,90

0,95

0,99

8

10

13

20

8

10

13

20

13

15

20

25

20

25

32

32

25

32

40

40

32

40

40

50

40

40

50

50

50

50

65

65

65

65

80

80

80

100

100

125

125

125

125

150

150

150

150

150

150

200

200

200

200

-

-

-

-

-

-

-

0,90

0,80

0,90

0,95

0,99

15

20

20

32

15

20

25

50

32

32

40

80

40

50

50

80

50

65

65

100

65

80

80

125

80

80

100

125

100

100

125

150

125

150

150

200

200

200

200

-

200

200

-

-

200

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

0,95

0,80

0,90

0,95

0,99

32

50

50

65

32

50

65

65

50

65

80

100

80

100

125

125

100

100

150

150

125

125

150

200

150

150

200

200

150

200

-

-

200

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-


8.3. Формулы для вычисления точечных оценок параметров

распределения наработки до отказа при испытаниях по плану [NUN]

Таблица 8.3.1.

Математическая модель отказов

Формулы для вычисления оценок параметров

Нормальное распределение

;

(Значения Е(N-1) приведены в таблице 8.3.2)

Распределение Вейбулла (N>15)٭

;

Диффузионное немонотонное распределение

; ; ;

Диффузионное монотонное распределение٭

; ; ; ;

Логарифмически нормальное распределение

Оценки параметров вычисляются по формулам

для нормального распределения

٭ - параметры этих распределения вычисляются методом последовательных приближений

Таблица 8.3.2.

M=N-1

E(m)

M=N-1

E(m)

M=N-1

E(m)

1

1,253

10

1,025

19

1,013

2

1,128

11

1,024

20

1,013

3

1,085

12

1,021

25

1,010

4

1,064

13

1,019

30

1,008

5

1,051

14

1,018

35

1,007

6

1,042

15

1,017

40

1,006

7

1,036

16

1,016

45

1,006

8

1,032

17

1,015

50

1,005

9

1,028

18

1,014

60

1,004


8.4. Формулы для вычисления

точечных оценок показателей надежности

Таблица 8.4.

Распределение

Нормальное

Вейдулла

Диффузионное немонотонное

Диффузионное монотонное

Логарифмически нормальное


8.5. Таблицы функций для расчета показателей надежности

Таблица 8.5.1.

Значения функции exp(-x)

x

e-x

Δ

x

e-x

Δ

x

e-x

Δ

x

e-x

Δ

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39

0,40

1,000

0,990

0,980

0,970

0,961

0,951

0,942

0,932

0,923

0,914

0,905

0,896

0,887

0,878

0,869

0,861

0,852

0,844

0,835

0,827

0,819

0,811

0,803

0,795

0,787

0,779

0,771

0,763

0,756

0,748

0,741

0,733

0,726

0,719

0,712

0,705

0,698

0,691

0,684

0,677

0,670

10

10

10

9

10

9

10

9

9

9

9

9

9

9

8

9

8

9

8

8

8

8

8

8

8

8

8

7

8

7

8

7

7

7

7

7

7

7

7

7

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,670

0,664

0,657

0,650

0,644

0,638

0,631

0,625

0,619

0,613

0,606

0,600

0,595

0,589

0,583

0,577

0,571

0,565

0,560

0,554

0,049

0,543

0,538

0,533

0,527

0,522

0,517

0,512

0,507

0,502

0,497

0,492

0,487

0,482

0,477

0,472

0,468

0,463

0,458

0,454

0,499

6

7

7

6

6

7

6

6

6

7

6

5

6

6

6

6

6

5

6

5

6

5

5

6

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

4

5

5

4

5

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1,00

1,10

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

2,60

2,70

2,80

2,90

3,00

0,449

0,445

0,440

0,436

0,432

0,427

0,423

0,419

0,415

0,411

0,407

0,403

0,399

0,395

0,391

0,387

0,383

0,379

0,375

0,372

0,368

0,333

0,302

0,273

0,247

0,223

0,202

0,183

0,165

0,150

0,135

0,122

0,111

0,100

0,091

0,082

0,074

0,067

0,061

0,055

0,050

4

5

4

4

5

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

4

35

31

29

26

24

21

19

18

15

15

13

11

11

9

9

8

7

6

6

5

3,00

3,10

3,20

3,30

3,40

3,50

3,60

3,70

3,80

3,90

4,00

4,10

4,20

4,30

4,40

4,50

4,60

4,70

4,80

4,90

5,00

5,10

5,20

5,30

5,40

5,50

5,60

5,70

5,80

5,90

6,00

6,10

6,20

6,30

6,40

6,50

6,60

6,70

6,80

6,90

7,00

0,050

0,045

0,041

0,037

0,033

0,030

0,027

0,025

0,022

0,020

0,0183

0,0166

0,0150

0,0136

0,0123

0,0111

0,0101

0,0091

0,0082

0,0074

0,0067

0,0061

0,0055

0,0050

0,0045

0,0041

0,0037

0,0033

0,0030

0,0027

0,0025

0,0022

0,0020

0,0018

0,0017

0,0015

0,0014

0,0012

0,0011

0,0010

0,0009

5

4

4

4

3

3

2

3

2

2

17

16

14

13

12

10

10

9

8

7

6

6

5

5

4

4

4

3

3

2

3

2

2

1

2

1

2

1

1

1


Таблица 8.5.2

Значения функций ех, е

х

ех

е

х

ех

е

х

ех

е

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

1,0000

1,0101

1,0202

1,0305

1,0408

1,0513

1,0618

1,0725

1,0833

1,0942

1,1052

1,1163

1,1275

1,1388

1,1503

1,1618

1,1835

1,1853

1,1972

1,2092

1,2214

1,2337

1,2461

1,2586

1,2712

1,2840

1,2969

1,3100

1,3231

1,3364

1,3499

1,3634

1,3771

1,3910

1,4049

1,4191

1,4333

1,4477

1,4623

1,4770

1,4918

1,5068

1,5220

1,5373

1,5227

1,5683

1,0000

0,9900

0,9802

0,9704

0,9608

0,9512

0,9418

0,9324

0,9231

0,9139

0,9048

0,8958

0,8869

0,8781

0,8694

0,8607

0,8521

0,8437

0,8353

0,8270

0,8187

0,8106

0,8025

0,7945

0,7866

0,7788

0,7711

0,7634

0,7558

0,7483

0,7408

0,7334

0,7261

0,7189

0,7118

0,7047

0,6977

0,6907

0,6839

0,6771

0,6703

0,6637

0,6570

0,6505

0,6440

0,6376

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

1,5683

1,5841

1,6000

1,6161

1,6323

1,6487

1,6658

1,6820

1,6989

1,7160

1,7333

1,7507

1,7683

1,7860

1,8040

1,8221

1,8404

1,8589

1,8776

1,8965

1,9155

1,9348

1,9542

1,9739

1,9937

2,0138

2,0340

2,0544

2,0751

2,0959

2,1170

2,1383

2,1598

2,1815

2,2034

2,2255

2,2479

2,2705

2,2933

2,3164

2,3396

2,3632

2,3869

2,4109

2,4351

2,4596

0,6376

0,6313

0,6250

0,6188

0,6126

0,6065

0,6005

0,5945

0,5886

0,5827

0,5769

0,5712

0,5655

0,5599

0,5543

0,5488

0,5434

0,5379

0,5326

0,5273

0,5220

0,5169

0,5117

0,5066

0,5016

0,4966

0,4916

0,4868

0,4819

0,4771

0,4724

0,4677

0,4630

0,4584

0,4538

0,4493

0,4449

0,4404

0,4360

0,4317

0,4274

0,4232

0,4290

0,4148

0,4107

0,4066

0,90

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

1,00

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28


1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

2,4596

2,4843

2,5093

2,5345

2,5600

2,5857

2,6117

2,6379

2,6645

2,6912

2,7183

2,7456

2,7732

2,8011

2,8292

2,8577

2,8864

2,9154

2,9447

2,9743

3,0042

3,0344

3,0649

3,0957

3,1268

3,1582

3,1899

3,2220

3,2544

3,2871

3,3201

3,3535

3,3872

3,4212

3,4556

3,4903

3,5254

3,5609

3,6328


3,6693

3,7062

3,7434

3,7810

3,8190

3,8574

0,4066

0,4025

0,3985

0,3946

0,3906

0,3867

0,3829

0,3791

0,3753

0,3716

0,3679

0,3642

0,3606

0,3570

0,3535

0,3499

0,3465

0,3430

0,3396

0,3362

0,3329

0,3296

0,3263

0,3230

0,3198

0,3166

0,3135

0,3140

0,3073

0,3042

0,3012

0,2982

0,2952

0,2923

0,2894

0,2865

0,2837

0,2808

0,2753


0,2725

0,2698

0,2671

0,2645

0,2618

0,2592

Продолжение табл. 8.5.2.

х

ех

е

х

ех

е

х

ех

е

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

1,58

1,59

1,60

1,65

1,70

1,75

1,80

1,85

1,90

1,95

2,00

3,8574

3,8962

3,9354

3,9749

4,0149

4,0552

4,0960

4,1371

4,1787

4,2207

4,2631

4,3060

4,3492

4,3929

4,4371

4,4817

4,5267

4,5722

4,6182

4,6646

4,7115

4,7588

4,8066

4,8550

4,9037

4,9530

5,2070

5,4739

5,7546

6,0496

6,3598

6,6859

7,0287

7,3891

0,2592

0,2567

0,2541

0,2516

0,2491

0,2466

0,2441

0,2417

0,2393

0,2369

0,2346

0,2322

0,2299

0,2276

0,2254

0,2231

0,2209

0,2187

0,2165

0,2144

0,2122

0,2101

0,2080

0,2060

0,2039

0,2019

0,1920

0,1827

0,1738

0,1653

0,1572

0,1496

0,1423

0,1353

2,00

2,05

2,10

2,15

2,20

2,25

2,30

2,35

2,40

2,45

2,50

2,55

2,60

2,65

2,70

2,75

2,80

2,85

2,90

2,95

3,00

3,05

3,10

3,15

3,20

3,25

3,30

3,35

3,40

3,45

3,50

3,55

3,60

3,65

7,3891

7,7679

8,1662

8,5849

9,0250

9,4877

9,9742

10,4860

11,0230

11,5880

12,1820

12,8070

13,4640

14,1540

14,8800

15,6430

16,4450

17,2880

18,1740

19,1060

20,0860

21,1150

22,1980

23,3360

24,5330

25,7800

27,1130

28,5030

29,9640

31,5000

33,1150

34,8130

36,5980

38,4750

0,1353

0,1287

0,1226

0,1165

0,1108

0,1054

0,1003

0,0954

0,0907

0,0863

0,0821

0,0781

0,0743

0,0706

0,0672

0,0639

0,0608

0,0573

0,0550

0,0523

0,0498

0,0474

0,0451

0,0429

0,0408

0,0388

0,0369

0,0351

0,0334

0,0318

0,0302

0,0287

0,0273

0,0260

3,65

3,70

3,75

3,80

3,85

3,90

3,95

4,00

4,50

5,00

5,50

6,00

6,50

7,00

7,50

8,00

8,50

9,00

9,50

10,00

38,4750

40,4470

42,5210

44,7010

46,9930

49,4020

51,9350

54,5980

90,0170

148,4100

244,6900

403,4300

665,1400

1096,6000

1808,0000

2981,0000

4914,8000

8103,1000

13360,0000

22026,0000

0,0260

0,0247

0,0235

0,0224

0,0213

0,0202

0,0192

0,0183

0,0111

0,006740

0,004090

0,002479

0,001503

0,000912

0,000553

0,000335

0,000203

0,000123

0,000075

0,000045

ПРИМЕЧАНИЕ: Для х<0,01:

;

или .

Таблица 8.5.3.

Значения нормальной функции распределения

х

Ф٭(х)

Δ

х

Ф٭(х)

Δ

х

Ф٭(х)

Δ

- 0,00

- 0,01

- 0,02

- 0,03

- 0,04

- 0,05

- 0,06

- 0,07

- 0,08

- 0,09

0,5000

0,4960

0,4920

0,4880

0,4840

0,4801

0,4761

0,4721

0,4681

0,4641

40

40

40

40

39

40

40

40

40

39

- 0,40

- 0,41

- 0,42

- 0,43

- 0,44

- 0,45

- 0,46

- 0,47

- 0,48

- 0,49

0,3446

0,3409

0,3372

0,3336

0,3300

0,3264

0,3228

0,3192

0,3156

0,3121

37

37

36

36

36

36

36

36

35

36

- 0,80

- 0,81

- 0,82

- 0,83

- 0,84

- 0,85

- 0,86

- 0,87

- 0,88

- 0,89

0,2119

0,2090

0,2061

0,2033

0,2005

0,1977

0,1949

0,1922

0,1894

0,1867

29

29

28

28

28

28

27

28

27

26

- 0,10

- 0,11

- 0,12

- 0,13

- 0,14

- 0,15

- 0,16

- 0,17

- 0,18

- 0,19

0,4602

0,4562

0,4522

0,4483

0,4443

0,4404

0,4364

0,4325

0,4286

0,4247

40

40

39

40

39

40

39

39

39

40

- 0,50

- 0,51

- 0,52

- 0,53

- 0,54

- 0,55

- 0,56

- 0,57

- 0,58

- 0,59

0,3085

0,3050

0,3015

0,2981

0,2946

0,2912

0,2877

0,2843

0,2810

0,2776

35

35

34

35

34

35

34

33

34

33

- 0,90

- 0,91

- 0,92

- 0,93

- 0,94

- 0,95

- 0,96

- 0,97

- 0,98

- 0,99

0,1841

0,1814

0,1788

0,1762

0,1736

0,1711

0,1685

0,1660

0,1635

0,1611

27

26

26

26

25

26

25

25

24

24

- 0,20

- 0,21

- 0,22

- 0,23

- 0,24

- 0,25

- 0,26

- 0,27

- 0,28

- 0,29

0,4207

0,4168

0,4129

0,4090

0,4052

0,4013

0,3974

0,3936

0,3897

0,3859

39

39

39

38

39

39

38

39

38

38

- 0,60

- 0,61

- 0,62

- 0,63

- 0,64

- 0,65

- 0,66

- 0,67

- 0,68

- 0,69

0,2743

0,2709

0,2676

0,2643

0,2611

0,2578

0,2546

0,2514

0,2483

0,2451

34

33

33

32

33

32

32

31

32

31

- 1,00

- 1,01

- 1,02

- 1,03

- 1,04

- 1,05

- 1,06

- 1,07

- 1,08

- 1,09

0,1587

0,1563

0,1539

0,1515

0,1492

0,1469

0,1446

0,1423

0,1401

0,1379

24

24

24

23

23

23

23

22

22

22

- 0,30

- 0,31

- 0,32

- 0,33

- 0,34

- 0,35

- 0,36

- 0,37

- 0,38

- 0,39

0,3821

0,3783

0,3745

0,3707

0,3669

0,3632

0,3594

0,3557

0,3520

0,3483

38

38

38

38

37

38

37

37

37

37

- 0,70

- 0,71

- 0,72

- 0,73

- 0,74

- 0,75

- 0,76

- 0,77

- 0,78

- 0,79

0,2420

0,2389

0,2358

0,2327

0,2297

0,2266

0,2236

0,2206

0,2177

0,2148

31

31

31

30

31

30

30

29

29

29

- 1,10

- 1,11

- 1,12

- 1,13

- 1,14

- 1,15

- 1,16

- 1,17

- 1,18

- 1,19

0,1357

0,1335

0,1314

0,1292

0,1271

0,1251

0,1230

0,1210

0,1190

0,1170

22

21

22

21

20

21

20

20

20

19


Продолжение таблицы 8.5.3.

х

Ф٭(х)

Δ

х

Ф٭(х)

Δ

х

Ф٭(х)

Δ

- 1,20

- 1,21

- 1,22

- 1,23

- 1,24

- 1,25

- 1,26

- 1,27

- 1,28

- 1,29

0,1151

0,0031

0,1112

0,1093

0,1075

0,1056

0,1038

0,1020

0,1003

0,0985

20

19

19

18

19

18

18

17

18

17

- 1,60

- 1,61

- 1,62

- 1,63

- 1,64

- 1,65

- 1,66

- 1,67

- 1,68

- 1,69

0,0548

0,0537

0,0526

0,0516

0,0505

0,0495

0,0485

0,0475

0,0465

0,0455

11

1

10

11

10

10

10

10

10

9

- 2,00

- 2,10

- 2,20

- 2,30

- 2,40

- 2,50

- 2,60

- 2,70

- 2,80

- 2,90

0,0228

0,0179

0,0139

0,0107

0,0082

0,0062

0,0047

0,0035

0,0026

0,0019

49

40

32

25

20

15

12

9

7

5

- 1,30

- 1,31

- 1,32

- 1,33

- 1,34

- 1,35

- 1,36

- 1,37

- 1,38

- 1,39

0,0968

0,0951

0,0934

0,0918

0,0901

0,0885

0,0869

0,0853

0,0838

0,0823

17

17

16

17

16

16

16

15

15

15

- 1,70

- 1,71

- 1,72

- 1,73

- 1,74

- 1,75

- 1,76

- 1,77

- 1,78

- 1,79

0,0446

0,0436

0,0427

0,0418

0,0409

0,0401

0,0392

0,0384

0,0375

0,0367

10

9

9

9

8

9

8

9

8

8

- 3,00

- 3,10

- 3,20

- 3,30

- 3,40

- 3,50

- 3,60

- 3,70

- 3,80

- 3,90

0,0014

0,0010

0,0007

0,0005

0,0003

0,0002

0,0002

0,0001

0,0001

0,0000

4

3

2

2

1

0

1

0

1

- 1,40

- 1,41

- 1,42

- 1,43

- 1,44

- 1,45

- 1,46

- 1,47

- 1,48

- 1,49

0,0808

0,0793

0,0778

0,0764

0,0749

0,0735

0,0721

0,0708

0,0694

0,0681

15

15

14

15

14

14

13

14

13

13

- 1,80

- 1,81

- 1,82

- 1,83

- 1,84

- 1,85

- 1,86

- 1,87

- 1,88

- 1,89

0,0359

0,0351

0,0344

0,0336

0,0329

0,0322

0,0314

0,0307

0,0301

0,0294

8

7

8

7

7

8

7

6

7

6

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,5398

0,5438

0,5478

0,5517

0,5557

0,5596

0,5636

0,5675

0,5714

0,5753

40

40

40

40

39

40

40

40

40

39

- 1,50

- 1,51

- 1,52

- 1,53

- 1,54

- 1,55

- 1,56

- 1,57

- 1,58

- 1,59

0,0668

0,0655

0,0643

0,0630

0,0618

0,0606

0,0594

0,0582

0,0571

0,0559

13

12

13

12

12

12

12

11

12

11

- 1,90

- 1,91

- 1,92

- 1,93

- 1,94

- 1,95

- 1,96

- 1,97

- 1,98

- 1,99

0,0288

0,0281

0,0274

0,0268

0,0262

0,0256

0,0250

0,0244

0,0239

0,02,33

7

7

6

6

6

6

6

5

6

5

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,5793

0,5832

0,5871

0,5910

0,5948

0,5987

0,6026

0,6064

0,6103

0,6141

40

40

39

40

39

40

39

39

39

40


Продолжение таблицы 8.5.3.

х

Ф٭(х)

Δ

х

Ф٭(х)

Δ

х

Ф٭(х)

Δ

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,5793

0,5832

0,5871

0,5910

0,5948

0,5987

0,6026

0,6064

0,6103

0,6141

39

39

39

38

39

39

38

39

38

38

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,7257

0,7291

0,7324

0,7357

0,7389

0,7422

0,7454

0,7486

0,7517

0,7549

34

33

33

32

33

32

32

31

32

31

1,00

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

0,8413

0,8437

0,8461

0,8485

0,8508

0,8531

0,8554

0,8577

0,8599

0,8621

24

24

24

23

23

23

23

22

22

22

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39

0,6179

0,6217

0,6255

0,6293

0,6331

0,6368

0,6406

0,6443

0,6480

0,6517

38

38

38

38

37

38

37

37

37

37

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

0,75

0,76

0,77

0,78

0,79

0,7580

0,7611

0,7642

0,7673

0,7703

0,7734

0,7764

0,7794

0,7823

0,7852

31

31

31

30

31

30

30

29

29

29

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

0,8643

0,8665

0,8686

0,8708

0,8729

0,8749

0,8770

0,8790

0,8810

0,8830

22

21

22

21

20

21

20

20

20

19

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,6554

0,6591

0,6628

0,6664

0,6700

0,6736

0,6772

0,6808

0,6844

0,6879

37

37

36

36

36

36

36

36

35

36

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,7881

0,7910

0,7939

0,7967

0,7995

0,8023

0,8051

0,8078

0,8106

0,8133

29

29

28

28

28

28

27

28

27

26

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

0,8849

0,8869

0,8888

0,8907

0,8925

0,8944

0,8962

0,8980

0,8997

0,9015

20

19

19

18

19

18

18

17

18

17

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,6915

0,6950

0,6985

0,7019

0,7054

0,7088

0,7123

0,7157

0,7190

0,7224

35

35

34

35

34

35

34

33

34

33

0,90

0,91

0,92

0,93

0,94

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

0,8159

0,8186

0,8212

0,8238

0,8264

0,8289

0,8315

0,8340

0,8365

0,8389

27

26

26

26

25

26

25

25

24

24

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

0,9032

0,9049

0,9066

0,9082

0,9099

0,9115

0,9131

0,9147

0,9162

0,9177

17

17

16

17

16

16

16

15

15

15


Продолжение таблицы 8.5.3.

х

Ф٭(х)

Δ

х

Ф٭(х)

Δ

х

Ф٭(х)

Δ

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

0,9192

0,9207

0,9222

0,9236

0,9251

0,9265

0,9279

0,9292

0,9306

0,9319

15

15

14

15

14

14

13

14

13

13

1,70

1,71

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,77

1,78

1,79

0,9554

0,9564

0,9573

0,9582

0,9591

0,9599

0,9608

0,9616

0,9625

0,9633

10

9

9

9

8

9

8

9

8

8

2,00

2,10

2,20

2,30

2,40

2,50

2,60

2,70

2,80

2,90

0,9772

0,9821

0,9861

0,9893

0,9918

0,9938

0,9953

0,9965

0,9974

0,9981

49

40

32

25

20

15

12

9

7

5

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

1,58

1,59

0,9332

0,9345

0,9357

0,9370

0,9382

0,9394

0,9406

0,9418

0,9429

0,9441

13

12

13

12

12

12

12

11

12

11

1,80

1,81

1,82

1,83

1,84

1,85

1,86

1,87

1,88

1,89

0,9641

0,9649

0,9656

0,9664

0,9671

0,9678

0,9686

0,9693

0,9699

0,9706

8

7

8

7

7

8

7

6

7

7

3,00

3,10

3,20

3,30

3,40

3,50

3,60

3,70

3,80

3,90

0,9986

0,9990

0,9993

0,9995

0,9997

0,9998

0,9998

0,9999

0,9999

1,0000

4

3

2

2

1

0

1

0

1

1,60

1,61

1,62

1,63

1,64

1,65

1,66

1,67

1,68

1,69

0,9452

0,9463

0,9474

0,9484

0,9495

0,9505

0,9515

0,9525

0,9535

0,9545

11

11

10

11

10

10

10

10

10

9

1,90

1,91

1,92

1,93

1,94

1,95

1,96

1,97

1,98

1,99

0,9713

0,9719

0,9726

0,9732

0,9738

0,9744

0,9750

0,9756

0,9761

0,9767

6

7

6

6

6

6

6

5

6

5





Таблица 8.5.4

Значения гамма-функции Г(х)

х

Г(х)

х

Г(х)

х

Г(х)

1,00

1,01

1,02

1,03

1,04

1,05

1,06

1,07

1,08

1,09

1,00000

0,99433

0,98884

0,98355

0,97814

0,97350

0,96874

0,96415

0,95973

0,95546

1,30

1,31

1,32

1,33

1,34

1,35

1,36

1,37

1,38

1,39

0,89747

0,89600

0,89464

0,89338

0,89222

0,89115

0,89018

0,88931

0,88854

0,88785

1,60

1,61

1,62

1,63

1,64

1,65

1,66

1,67

1,68

1,69

0,89352

0,89468

0,89592

0,89724

0,89864

0,90012

0,90167

0,90330

0,90500

0,90678

1,10

1,11

1,12

1,13

1,14

1,15

1,16

1,17

1,18

1,19

0,95135

0,94740

0,94359

0,93993

0,93642

0,93304

0,92980

0,92670

0,92373

0,92089

1,40

1,41

1,42

1,43

1,44

1,45

1,46

1,47

1,48

1,49

0,88726

0,88676

0,88636

0,88604

0,88581

0,88566

0,88560

0,88563

0,88575

0,88595

1,70

1,71

1,72

1,73

1,74

1,75

1,76

1,77

1,78

1,79

0,90864

0,91057

0,91258

0,91467

0,91683

0,91906

0,92137

0,92376

0,92623

0,92877

1,20

1,21

1,22

1,23

1,24

1,25

1,26

1,27

1,28

1,29

0,91817

0,91558

0,91311

0,91075

0,90852

0,90640

0,90440

0,90250

0,90072

0,89904

1,50

1,51

1,52

1,53

1,54

1,55

1,56

1,57

1,58

1,59

0,88623

0,88659

0,88704

0,88757

0,88818

0,88887

0,88964

0,89049

0,89142

0,89243

1,80

1,81

1,82

1,83

1,84

1,85

1,86

1,87

1,88

1,89

0,93138

0,93408

0,93685

0,94261

0,93969

0,94561

0,94869

0,95184

0,85507

0,95838

1,90

1,91

1,92

1,93

0,96177

0,96523

0,96877

0,97240

1,94

1,95

1,96


0,97610

0,97988

0,98374


1,97

1,98

1,99

2,00

0,98768

0,99171

0,99581

1,00000

ПРИМЕЧАНИЕ: В таблице 8.2.4 значения Г(х) приведены для аргумента . Для других значений х:

1. x>2; Г(х)=(х-1)·Г(х-1)=(х-1)(х-2)Г(х-2)=…

Например: Г(4,7)=3,7·2,7·1,7·0,90864=15,43

2. х<1 и х≠0, -1, -2, …, то

Например: ;

8.6. Натуральные логарифмы

Таблица 8.6.

Един.

Десят.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0,0000

0,6931

1,0986

1,3863

1,6094

1,7918

1,9459

2,0794

2,1972

1

2,3026

2,3979

2,4849

2,5649

2,6391

2,7081

2,7726

2,8332

2,8904

2,9444

2

2,9957

3,0445

3,0910

3,1355

3,1781

3,2189

3,2581

3,2958

3,3322

3,3673

3

3,4012

3,4340

3,4657

3,4965

3,5264

3,5553

3,5835

3,6109

3,6376

3,6636

4

3,6889

3,7136

3,7377

3,7612

3,7842

3,8067

3,8286

3,8501

3,8712

3,8918

5

3,9120

3,3918

3,9512

3,9703

3,9890

4,0073

4,0254

4,0431

4,0604

4,0775

6

4,0943

4,1109

4,1271

4,1431

4,1589

4,1744

4,1897

4,2047

4,2195

4,2341

7

4,2485

4,2627

4,2767

4,2905

4,3041

4,3175

4,3307

4,3438

4,3567

4,3694

8

4,3820

4,3944

4,4067

4,4188

4,4308

4,4427

4,4543

4,4659

4,4773

4,4886

9

4,4998

4,5109

4,5218

4,5326

4,5433

4,5539

4,5643

4,5747

4,5850

4,5951

10

4,6052

4,6151

4,6250

4,6347

4,6444

4,6540

4,6634

4,6728

4,6821

4,6913

11

4,7005

4,7095

4,7185

4,7274

4,7362

4,7449

4,7537

4,7622

4,7707

4,7790

12

4,7875

4,7958

4,8041

4,8122

4,8202

4,8283

4,8364

4,8442

4,8520

4,8598

13

4,8674

4,8753

4,8829

4,8905

4,8978

4,9052

4,9126

4,9199

4,9273

4,9345

14

4,9416

4,9487

4,9559

4,962/8

4,9699

4,9768

4,9837

4,9904

4,9973

5,0040

15

5,0107

5,0173

5,0238

5,0305

5,0369

5,0434

5,0498

5,0563

5,0627

5,0689

16

5,0751

5,0814

5,0878

0,0938

5,0998

5,1060

5,1120

5,1180

5,1240

5,1299

17

5,1357

5,1417

5,1474

5,1532

5,1590

5,1647

5,1705

5,1762

5,1817

5,1875

18

5,1930

5,1986

5,2041

0,2096

5,2150

5,2204

5,2257

5,2310

5,2366

5,2418

19

5,2471

5,2522

5,2575

5,2628

5,2679

5,2729

5,2782

5,2833

5,2884

5,2934

20

5,2983

5,3033

5,3084

5,3132

5,3181

5,3231

5,3280

5,3328

5,3376

5,3422

21

5,3471

5,3520

5,3565

5,3614

5,3660

5,3706

5,3754

5,3800

5,3846

5,3890

22

5,3936

5,3982

5,4028

5,4072

5,4115

5,4162

5,4205

5,4249

5,4293

5,4337

23

5,4380

5,4424

5,4468

5,4512

5,4553

5,4597

5,4638

5,4680

5,4723

5,4765

24

5,4806

5,4848

5,4889

5,4931

5,4972

5,5013

5,5053

5,5094

5,5136

5,5175

25

5,5214

5,5255

5,5294

5,5334

5,5373

5,5412

5,5451

5,5490

5,5529

5,5568

26

5,5608

5,5644

5,5684

5,5723

5,5760

5,5796

5,5836

5,5872

5,5909

5,5948

27

5,5985

5,6022

5,6059

5,6096

5,6133

5,6167

5,6204

5,6241

5,6275

5,6312

28

5,6349

5,6383

5,6418

5,6455

5,6489

5,6524

5,6561

5,6595

5,6630

5,6664

29

5,6699

5,6734

5,6768

5,6803

5,6835

5,6869

5,6904

5,6938

5,6971

5,7005

30

5,7037

5,7072

5,7104

5,7136

5,7171

5,7203

5,7235

5,7268

5,7302

5,7334

31

5,7367

5,7399

5,7432

5,7461

5,7493

5,7526

5,7558

5,7590

5,7620

5,7961

32

5,7682

5,7714

5,7747

5,7777

5,7807

5,7839

5,7876

5,7899

5,7931

5,8260

33

5,7990

5,8021

5,8051

5,8081

5,7110

5,8140

5,8170

5,8200

5,8230


8.7. Метод последовательных приближений

8.7.1. Вычисление точечных оценок параметров распределения Вейбулла выполняется в следующей последовательности:

1. Вычислить коэффициент А

;

2. Вычислить начальное приближение

;

3. Вычислить k-тое приближение параметра (k=1, 2, 3, …)

;

4. Проверить условие достижения заданной точности вычислений

;

5. При выполнении условия полагаем

;

при невыполнении условия вычислить (k+1)-е приближение (п. 3);

6. Вычислить оценку параметра а

.

8.7.2. Вычисление точечных параметров DM-распределения

1. Рабочие формулы

;

; ;

2. Задаем нулевое приближение параметра

;

3. Вычисляем нулевое приближение коэффициента (k=0)

4. Вычисляем k-тое приближение параметра (k=1, 2, 3, …), используя рабочую формулу

;

5. Проверяем условие достижения заданной точности вычислений

;

6. При выполнении условия полагаем

;

при невыполнении условия вычисляем (k+1)-е приближение (п. 3);

7. Вычисляем значение (оценку) параметра

.

скачать файл | источник
просмотреть